Valorar las opciones puede ser un negocio complicado. Considere el siguiente escenario: en enero de 2015, las acciones de IBM se cotizaban a $ 155 y esperaba que subiera en el próximo año. Tiene la intención de comprar una opción de compra sobre las acciones de IBM con un precio de ejercicio ATM de $ 155, esperando beneficiarse de un alto porcentaje de rendimiento, basado en un pequeño costo de opción (opción premium), en comparación con la compra de acciones con un alto precio de compra.
¿Cuál debería ser el valor razonable de esta opción de compra en IBM?
Hoy en día, hay un par de métodos diferentes disponibles para valorar las opciones, incluido el modelo Black-Scholes y el modelo de árbol binomial, que pueden proporcionar respuestas rápidas. ¿Pero cuáles son los factores subyacentes y los conceptos impulsores para llegar a tales modelos de valoración? ¿Se puede preparar algo similar, basado en el concepto de estos modelos?
Aquí, cubrimos los componentes básicos, los conceptos subyacentes y los factores que se pueden usar como marco para construir un modelo de valoración para un activo, como las opciones, proporcionando una comparación lado a lado con los orígenes de Black-Scholes (BS) modelo.
El mundo antes de Black-Scholes
Antes de Black-Scholes, se seguía ampliamente el Modelo de fijación de precios de activos de capital (CAPM) basado en el equilibrio. Los rendimientos y los riesgos se equilibraron entre sí, en función de la preferencia del inversor, es decir, se esperaba que un inversor de alto riesgo fuera compensado con (el potencial de) mayores rendimientos en una proporción similar.
El modelo BS encuentra sus raíces en CAPM. Según Fisher Black: “Apliqué el Modelo de fijación de precios de activos de capital en cada momento de la vida de un warrant, para cada posible precio de acciones y valor de warrant”. Desafortunadamente, el CAPM no pudo cumplir con el requisito del precio del warrant (opción).
Black-Scholes sigue siendo el primer modelo, basado en el concepto de arbitraje, haciendo un cambio de paradigma de los modelos basados en el riesgo (como CAPM). Este nuevo desarrollo del modelo BS reemplazó el concepto de retorno de acciones CAPM con el reconocimiento del hecho de que una posición perfectamente cubierta generará una tasa libre de riesgo. Esto eliminó las variaciones de riesgo y rendimiento, y estableció el concepto de arbitraje en el que las valoraciones se realizan sobre supuestos de concepto neutral al riesgo: una posición cubierta (libre de riesgo) debería conducir a una tasa de rendimiento libre de riesgo.
El desarrollo de Black-Scholes
Comencemos estableciendo el problema, cuantificándolo y desarrollando un marco para su solución. Continuamos con nuestro ejemplo sobre la valoración de la opción de compra del cajero automático en IBM con un precio de ejercicio de $ 155 con un año de vencimiento.
Sobre la base de la definición básica de una opción de compra, a menos que el precio de las acciones alcance el nivel de precio de ejercicio, la recompensa sigue siendo cero. Después de ese nivel, el pago aumenta linealmente (es decir, un aumento de un dólar en el subyacente proporcionará un pago de un dólar de la opción de compra).
Suponiendo que el comprador y el vendedor acuerden una valoración justa (incluido el precio cero), el precio justo teórico para esta opción de compra será:
- Precio de la opción de compra = $ 0, si subyace <strike (gráfico rojo) Precio de la opción de compra = (subyacente - strike), si está subyacente> = strike (gráfico azul)
Esto representa el valor intrínseco de la opción y se ve perfecto desde el punto de vista del comprador de una opción de compra. En la región roja, tanto el comprador como el vendedor tienen una valoración justa (precio cero para el vendedor, pago cero para el comprador). Sin embargo, el desafío de valoración comienza con la región azul, ya que el comprador tiene la ventaja de una recompensa positiva, mientras que el vendedor sufre una pérdida (siempre que el precio subyacente supere el precio de ejercicio). Aquí es donde el comprador tiene una ventaja sobre el vendedor con precio cero. Los precios deben ser distintos de cero para compensar al vendedor por el riesgo que está tomando.
En el primer caso (gráfico rojo), en teoría, el vendedor recibe un precio cero y el comprador tiene un potencial de pago cero (justo para ambos). En el último caso (gráfico azul), el vendedor debe pagar la diferencia entre el subyacente y la huelga al comprador. El riesgo del vendedor se extiende durante la duración de un año entero. Por ejemplo, el precio de las acciones subyacentes puede moverse muy alto (digamos $ 200 en cuatro meses) y el vendedor debe pagar al comprador el diferencial de $ 45.
Por lo tanto, se reduce a:
- ¿El precio del subyacente cruzará el precio de ejercicio? Si lo hace, ¿qué tan alto puede ir el precio subyacente (ya que eso determinará el beneficio para el comprador)?
Esto indica el gran riesgo asumido por el vendedor, lo que lleva a la pregunta: ¿por qué alguien vendería tal llamada, si no obtienen nada por el riesgo que están tomando?
Nuestro objetivo es llegar a un precio único que el vendedor debe cobrar al comprador, lo que puede compensarlo por el riesgo general que está asumiendo durante un año, tanto en la región de pago cero (rojo) como en la región de pago lineal (azul). El precio debe ser justo y aceptable tanto para el comprador como para el vendedor. Si no es así, el que está en desventaja en términos de pagar o recibir un precio injusto no participará en el mercado, lo que anulará el propósito del negocio comercial. El modelo Black-Scholes tiene como objetivo establecer este precio justo al considerar la variación constante del precio de las acciones, el valor temporal del dinero, el precio de ejercicio de la opción y el tiempo hasta el vencimiento de la opción. Similar al modelo BS, veamos cómo podemos enfocarnos para evaluar esto para nuestro ejemplo usando nuestros propios métodos.
¿Cómo evaluar el valor intrínseco en la región azul?
Hay un par de métodos disponibles para predecir el movimiento de precios esperado en el futuro durante un período de tiempo determinado:
- Uno puede analizar movimientos de precios similares de la misma duración en el pasado reciente. El precio de cierre histórico de IBM indica que en el último año (2 de enero de 2014 al 31 de diciembre de 2014), el precio bajó a $ 160.44 de $ 185.53, una disminución del 13.5%. ¿Podemos concluir un movimiento de precio de -13.5% para IBM? Una verificación detallada adicional indica que tocó un máximo anual de $ 199.21 (el 10 de abril de 2014) y un mínimo anual de $ 150.5 (el 16 de diciembre de 2014). Basándose en el día de inicio, el 2 de enero de 2014, y el precio de cierre de $ 185.53, el cambio porcentual varía de + 7.37% a -18.88%. Ahora, el rango de variación se ve mucho más amplio en comparación con la disminución calculada anteriormente del 13.5%.
Se pueden realizar análisis y observaciones similares sobre datos históricos. Para continuar con el desarrollo de nuestro modelo de precios, supongamos que esta metodología simple mide las variaciones futuras de precios.
Suponga que IBM aumenta un 10% cada año (según los datos históricos de los últimos 20 años). Las estadísticas básicas indican que la probabilidad de que el cambio en el precio de las acciones de IBM rondando el + 10% será mucho mayor que la probabilidad de que el precio de IBM aumente un 20% o disminuya un 30%, suponiendo que se repitan los patrones históricos. Al recopilar puntos de datos históricos similares con valores de probabilidad, un rendimiento esperado general sobre el precio de las acciones de IBM en un plazo de un año se puede calcular como un promedio ponderado de probabilidades y rendimientos asociados. Por ejemplo, suponga que los datos históricos de precios de IBM indican los siguientes movimientos:
- (-10%) en el 25% de las veces, + 10% en el 35% de las veces, + 15% en el 20% de las veces, + 20% en 10% de las veces, + 25% en 5% de las veces y (-15%) en 5% de las veces.
Por lo tanto, el promedio ponderado (o el Valor esperado) llega a:
(-10% * 25% + 10% * 35% + 15% * 20% + 20% * 10% + 25% * 5% - 15% * 5%) / 100% = 6.5%
Es decir, en promedio, se espera que el precio de las acciones de IBM regrese + 6.5% en un año por cada dólar. Si alguien compra las acciones de IBM con un horizonte de un año y un precio de compra de $ 155, se puede esperar un rendimiento neto de 155 * 6.5% = $ 10.075.
Sin embargo, esto es para la devolución del stock. Necesitamos buscar retornos esperados similares para la opción de compra.
Basado en el pago cero de la llamada por debajo del precio de ejercicio ($ 155 existente - llamada ATM), todos los movimientos negativos generarán pagos cero, mientras que todos los movimientos positivos por encima del precio de ejercicio generarán un pago equivalente. El retorno esperado para la opción de compra será:
(-0% * 25% + 10% * 35% + 15% * 20% + 20% * 10% + 25% * 5% - 0 % * 5%) / 100% = 9.75%
Es decir, por cada $ 100 invertidos en la compra de esta opción, uno puede esperar $ 9.75 (según los supuestos anteriores).
Sin embargo, esto todavía se limita a la valoración justa de la cantidad intrínseca de la opción y no captura correctamente el riesgo asumido por el vendedor de la opción para los cambios altos que pueden ocurrir en el ínterin (en el caso de arriba y abajo durante el año mencionado anteriormente) precios). Además del valor intrínseco, ¿qué precio pueden acordar el comprador y el vendedor, de modo que el vendedor sea compensado de manera justa por el riesgo que asume en el plazo de un año?
Estos cambios pueden variar ampliamente y el vendedor puede tener su propia interpretación de cuánto quiere que se le compense. El modelo Black-Scholes supone opciones de tipo europeo, es decir, ningún ejercicio antes de la fecha de vencimiento. Por lo tanto, no se ve afectado por las oscilaciones de los precios intermedios y basa su valoración en días de negociación de extremo a extremo.
En el comercio de día real, esta volatilidad juega un papel importante en la determinación de los precios de las opciones. La función de pago azul que comúnmente vemos es en realidad el pago en la fecha de vencimiento. Siendo realistas, el precio de la opción (gráfico rosa) siempre es más alto que la recompensa (gráfico azul), lo que indica el precio tomado por el vendedor para compensar sus habilidades para asumir riesgos. Es por eso que el precio de la opción también se conoce como la opción "premium", que esencialmente indica la prima de riesgo.
Esto puede incluirse en nuestro modelo de valuación, dependiendo de la cantidad de volatilidad esperada en el precio de la acción y de cuánto valor esperado arrojaría.
El modelo Black-Scholes lo hace de manera eficiente (por supuesto, dentro de sus propios supuestos) de la siguiente manera:
C = S × N (d1) −X × e − rTN (d2)
El modelo BS supone una distribución lognormal de los movimientos del precio de las acciones, lo que justifica el uso de N (d1) y N (d2).
- En la primera parte, S indica el precio actual de la acción. N (d1) indica la probabilidad del movimiento actual del precio de las existencias.
Si esta opción entra en el dinero permitiendo que el comprador ejerza esta opción, obtendrá una parte de las acciones subyacentes de IBM. Si el operador lo ejerce hoy, entonces el S * N (d1) representa el valor esperado actual de la opción.
En la segunda parte, X indica el precio de ejercicio.
- N (d2) representa la probabilidad de que el precio de la acción esté por encima del precio de ejercicio, por lo que X * N (d2) representa el valor esperado del precio de la acción que queda por encima del precio de ejercicio.
Como el modelo Black-Scholes supone opciones de estilo europeo en las que el ejercicio solo es posible al final, el valor esperado representado anteriormente por X * N (d2) debe descontarse por el valor temporal del dinero. Por lo tanto, la última parte se multiplica con el término exponencial elevado a la tasa de interés durante el período de tiempo.
La diferencia neta de los dos términos indica el valor del precio de la opción a partir de hoy (en el que se descuenta el segundo término)
En nuestro marco, tales movimientos de precios pueden incluirse con mayor precisión a través de múltiples formas:
- Refinamiento adicional de los cálculos de rendimiento esperado ampliando el rango a intervalos más finos para incluir movimientos de precios intradía / intraaño Inclusión de datos actuales del mercado, ya que refleja la actividad actual (similar a la volatilidad implícita) Retornos esperados en la fecha de vencimiento, lo que puede volver a descontar hasta el día de hoy para valoraciones realistas y reducir aún más el valor actual
Por lo tanto, vemos que no hay límite para los supuestos, las metodologías y la personalización que se seleccionarán para el análisis cuantitativo. Dependiendo del activo a negociar o de la inversión a considerar, se puede trabajar en un modelo de desarrollo propio. Es importante tener en cuenta que la volatilidad de los movimientos de precios de diferentes clases de activos varía mucho: las acciones tienen sesgo de volatilidad, el forex tiene ceño fruncido de volatilidad y los usuarios deben incorporar los patrones de volatilidad aplicables en sus modelos. Las suposiciones y los inconvenientes son parte integral de cualquier modelo y la aplicación bien informada de modelos en escenarios comerciales del mundo real puede producir mejores resultados.
La línea de fondo
Con los activos complejos que ingresan a los mercados o incluso que los activos simples van a entrar en formas complejas de negociación, el modelado cuantitativo y el análisis se están volviendo obligatorios para la valoración. Desafortunadamente, ningún modelo matemático viene sin un conjunto de inconvenientes y suposiciones. El mejor enfoque es mantener los supuestos al mínimo y tener en cuenta los inconvenientes implícitos, que pueden ayudar a trazar las líneas sobre el uso y la aplicabilidad de los modelos.
