Definición de relación lineal

¿Qué es una relación lineal?

Una relación lineal (o asociación lineal) es un término estadístico utilizado para describir una relación lineal entre una variable y una constante. Las relaciones lineales se pueden expresar en un formato gráfico donde la variable y la constante están conectadas a través de una línea recta o en un formato matemático donde la variable independiente se multiplica por el coeficiente de pendiente, agregado por una constante, que determina la variable dependiente.

Una relación lineal puede contrastarse con una relación polinómica o no lineal (curva).

Para llevar clave

Una relación lineal (o asociación lineal) es un término estadístico utilizado para describir una relación lineal entre una variable y una constante. Las relaciones lineales pueden expresarse en formato gráfico o como una ecuación matemática de la forma y = mx + b Las relaciones lineales son bastante comunes en la vida diaria.

La ecuación lineal es:

Matemáticamente, una relación lineal es aquella que satisface la ecuación:

$\begin{matrix} y = metro X + si \\ dónde: \\ metro = Pendiente \\ si = intersección en y \end{matrix} \ begin {alineado} & y = mx + b \\ & \ textbf {donde:} \ & m = \ text {pendiente} \ & b = \ text {intersección en y} }\\ end {alineado}$ Y = mx + b donde: m = pendiente b = intersección en y

En esta ecuación, "x" e "y" son dos variables que están relacionadas por los parámetros "m" y "b". Gráficamente, y = mx + b traza en el plano xy como una línea con pendiente "m" e intersección y "b". La intersección y "b" es simplemente el valor de "y" cuando x = 0. La pendiente "m" se calcula a partir de dos puntos individuales (x ₁, y ₁) y (x ₂, y ₂) como:

$metro = \frac{(y_{2} - y_{1})}{(X_{2} - X_{1})} m = \ frac {(y_2 - y_1)} {(x_2 - x_1)}$ m = (x2 −x1) (y2 −y1)

Relación lineal

¿Qué le dice una relación lineal?

Hay tres conjuntos de criterios necesarios que una ecuación debe cumplir para calificar como lineal: una ecuación que expresa una relación lineal no puede constar de más de dos variables, todas las variables en una ecuación deben ser de la primera potencia, y la ecuación debe graficarse como una línea recta.

Una función lineal en matemáticas es aquella que satisface las propiedades de aditividad y homogeneidad. Las funciones lineales también observan el principio de superposición, que establece que la salida neta de dos o más entradas es igual a la suma de las salidas de las entradas individuales. Una relación lineal comúnmente utilizada es una correlación, que describe cómo una variable cambia de manera lineal a cambios en otra variable.

En econometría, la regresión lineal es un método de uso frecuente para generar relaciones lineales para explicar varios fenómenos. Sin embargo, no todas las relaciones son lineales. Algunos datos describen relaciones que son curvas (como las relaciones polinómicas), mientras que otros datos no pueden parametrizarse.

Funciones lineales

Matemáticamente similar a una relación lineal es el concepto de una función lineal. En una variable, una función lineal se puede escribir de la siguiente manera:

$\begin{matrix} F (X) = metro X + si \\ dónde: \\ metro = Pendiente \\ si = intersección en y \end{matrix} \ begin {alineado} & f (x) = mx + b \\ & \ textbf {donde:} \ & m = \ text {pendiente} \ & b = \ text {intersección en y}} \ \ end {alineado}$ F (x) = mx + b donde: m = pendiente b = intersección en y

Esto es idéntico a la fórmula dada para una relación lineal, excepto que el símbolo f (x) se usa en lugar de y. Esta sustitución se hace para resaltar el significado de que x se asigna a f (x), mientras que el uso de y simplemente indica que x e y son dos cantidades, relacionadas por A y B.

En el estudio del álgebra lineal, las propiedades de las funciones lineales se estudian ampliamente y se hacen rigurosas. Dado un C escalar y dos vectores A y B de R ^N, la definición más general de una función lineal establece que: $C \times F (UN + si) = C \times F (UN) + C \times F (si) c \ veces f (A + B) = c \ veces f (A) + c \ veces f (B)$ c × f (A + B) = c × f (A) + c × f (B)

Ejemplos de relaciones lineales

Ejemplo 1

Las relaciones lineales son bastante comunes en la vida diaria. Tomemos el concepto de velocidad, por ejemplo. La fórmula que usamos para calcular la velocidad es la siguiente: la velocidad es la distancia recorrida en el tiempo. Si alguien en una minivan blanca Chrysler Town and Country 2007 viaja entre Sacramento y Marysville en California, un tramo de 41.3 millas en la autopista 99, y el viaje completo termina en 40 minutos, habrá viajado a menos de 60 mph.

Si bien hay más de dos variables en esta ecuación, sigue siendo una ecuación lineal porque una de las variables siempre será una constante (distancia).

Ejemplo 2

También se puede encontrar una relación lineal en la ecuación distancia = velocidad x tiempo. Debido a que la distancia es un número positivo (en la mayoría de los casos), esta relación lineal se expresaría en el cuadrante superior derecho de un gráfico con un eje X e Y.

Si una bicicleta hecha para dos viajaba a una velocidad de 30 millas por hora durante 20 horas, el ciclista terminará viajando 600 millas. Representada gráficamente con la distancia en el eje Y y el tiempo en el eje X, una línea que rastrea la distancia durante esas 20 horas viajaría directamente desde la convergencia de los ejes X e Y.

Ejemplo 3

Para convertir Celsius a Fahrenheit, o Fahrenheit a Celsius, usarías las siguientes ecuaciones. Estas ecuaciones expresan una relación lineal en un gráfico:

$° C = \frac{5 5}{9 9} (° F - 32) \ grado C = \ frac {5} {9} ( grado F - 32)$ ° C = 95 (° F − 32)

$° F = \frac{9 9}{5 5} (° C + 32) \ grado F = \ frac {9} {5} ( grado C + 32)$ ° F = 59 (° C + 32)

Ejemplo 4

Suponga que la variable independiente es el tamaño de una casa (medida por pies cuadrados) que determina el precio de mercado de una casa (la variable dependiente) cuando se multiplica por el coeficiente de pendiente de 207.65 y luego se agrega al término constante $ 10, 500. Si el espacio cuadrado de una casa es 1, 250, entonces el valor de mercado de la casa es (1, 250 x 207.65) + $ 10, 500 = $ 270, 062.50. Gráficamente y matemáticamente, aparece de la siguiente manera:

En este ejemplo, a medida que aumenta el tamaño de la casa, el valor de mercado de la casa aumenta de manera lineal.

Algunas relaciones lineales entre dos objetos se pueden llamar una "constante de proporcionalidad". Esta relación aparece como

$\begin{matrix} Y = k \times X \\ dónde: \\ k = constante \\ Y, X = cantidades proporcionales \end{matrix} \ begin {alineado} & Y = k \ veces X \\ & \ textbf {donde:} \ & k = \ text {constante} \ & Y, X = \ text {cantidades proporcionales} \ \ end {alineado}$ Y = k × X donde: k = constanteY, X = cantidades proporcionales

Al analizar los datos de comportamiento, rara vez existe una relación lineal perfecta entre las variables. Sin embargo, se pueden encontrar líneas de tendencia en los datos que forman una versión aproximada de una relación lineal. Por ejemplo, podría ver la venta de helados y el número de visitas al hospital como las dos variables en juego en un gráfico y encontrar una relación lineal entre los dos.

Tabla de contenido: